Fiche TISD Master Pro

Niveau: Supérieur, Master
Fiche 4 - TISD - Master Pro Tran Viet Chi, , bureau 316 (bâtiment M3). Exercice 1 (Maximum de vraisemblance pour la loi Gamma) Les lois Gamma ?(k, ?) sont des lois de probabilité définies à partir : 1. d'un paramètre d'échelle ? > 0 2. d'un paramètre de forme k > 0 par des densités de probabilité de la forme : f(x ; ?, k) = xk?1 exp ( ?x? ) ?(k)?k 1]0,+∞[(x), où ?(k) = ∫ +∞ 0 tk?1e?tdt. (1) Les lois Gamma sont utilisées pour modéliser des variables aléatoires positives, souvent des durées. Par exemple, pour des événements se réalisant suivant un processus de Poisson de paramètre ?, l'événement N (pour N fixé) suit une loi ?(N, ?). Partie A (théorique) 1. Vérifier que lorsque k = 1, on retrouve une loi exponentielle. 2. Calculer l'espérance, le mode, la variance de la loi ?(k, ?). 3. Soient (Xi)i?[[1,n]] n variables aléatoires indépendantes de lois respectives ?(?i, ?), i ? [[1, n]].

• maximum de vraisemblance


• aléatoire indépendantes


• variable aléatoire


• distributions des estimateurs k˜n


• loi ?


• variance s2t de l'échantillon


• estimateurs


• commande mle