Fiche les corriges de certains exercices Exercice Soient G un groupe N un sous groupe distingue et pi G G N l'homomorphisme canonique Demontrer que la correspondance qui associe a chaque sous groupe L de G N le sous groupe pi L represente une bijection entre les sous groupes de G N et les sous groupes de G contenant N De plus cette correspondance preserve les sous groupes distingues et les indices des sous groupes Reponse Nous verifierons les conclusions en plusieurs etapes Nous gardons la notation de l'enonce Soulignons un point mineur mais important la notation pi est utilisee pour noter l'image inverse d'une partie de l'ensemble d'arrivee en l'occurrence le groupe G N L'homomor phisme canonique n'est pas necessairement une injection et par consequent il n'est pas possible de parler de son inverse En fait pi devient interessant quand il n'est pas injectif

Niveau: Supérieur, Master
Fiche 1 : les corriges de certains exercices Exercice 6 Soient G un groupe, N un sous-groupe distingue et pi : G ?? G/N l'homomorphisme canonique. Demontrer que la correspondance qui associe a chaque sous-groupe L de G/N le sous- groupe pi?1(L) represente une bijection entre les sous-groupes de G/N et les sous-groupes de G contenant N . De plus, cette correspondance preserve les sous-groupes distingues et les indices des sous-groupes. Reponse : Nous verifierons les conclusions en plusieurs etapes. Nous gardons la notation de l'enonce. Soulignons un point mineur mais important : la notation pi?1 est utilisee pour noter l'image inverse d'une partie de l'ensemble d'arrivee, en l'occurrence le groupe G/N . L'homomor- phisme canonique n'est pas necessairement une injection, et par consequent il n'est pas possible de parler de son inverse. En fait, pi devient interessant quand il n'est pas injectif. Etape 1 Si L ≤ G/N alors pi?1(L) est un sous-groupe de G contenant N . Soit H = pi?1(L). Que H soit un sous-groupe de G est une consequence generale. Si vous en doutez ou si vous ne voyez pas comment faire, c'est un bon moment pour combler cette lacune qui ne doit plus exister parmi vos connaissances.

• droite de ?? ?


• ?ij ij


• correspondance bijective de l'etape


• definition de ?0


• connaissances anterieures sur les groupes cycliques


• homomorphisme canonique


• groupe fini


• paragraphe precedent