Examen du janvier

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence 3 Integration et Probabilites Examen du 10 janvier 2012 duree 3h Les calculatrices sont interdites. Comme unique document, un recto-verso au format A4 est autorise *** Probleme I *** On note ? la fonction definie sur ]0,+∞[ par la relation ?(x) = ∫ +∞ 0 ( e?t t ? e ?xt 1? e?t ) dt. Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = n ∑ k=1 1 k = 1 1 + 1 2 + · · ·+ 1 n . I 1. Soit x > 0. Montrer que la fonction t 7? e?tt ? e?xt 1?e?t est integrable par rapport a la mesure de Lebesgue sur ]0,+∞[. En deduire que ? est bien definie. 2. Soient a, b des reels avec 0 < a < b. Montrer que pour tout t > 0 et tout x ?]a, b[, on a ? ? ? ? e?t t ? e ?xt 1? e?t ? ? ? ? ≤ ? ? ? ? e?t t ? e ?at 1? e?t ? ? ? ? + ? ? ? ? e?t t ? e ?bt 1? e?t ? ? ? ? .

• loi exponentielle de parametre ?


• variable aleatoire


• recto-verso au format a4


• independantes suivant la loi exponentielle de parametre ?


• loi gamma


• positif ?


• variable aleatoire suivant la loi uniforme