EPREUVE D'ANALYSE

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
EPREUVE D'ANALYSE 1 Deug MIAS 2eme annee 2 septembre 2003 Duree 2H 1. Soit l'integrale I = +∞∫ 0 lnx x2 + 1 dx . a) Montrer que l'integrale I est convergente en 0. (1,5p) b) Montrer que l'integrale I est convergente en +∞. (1,5p) c) Calculer I a l'aide du changement de variable x = 1/t. (2p) 2. Pour tout entier k > 0, on pose ak = √ 1? k sin(1/k) . a) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=1 ak. (2p) b) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=1 (?1)kak. (3p) 3. a) Soient a et b deux reels tels que 1 < a < b. Calculer b∫ a dx x lnx (poser x = et). (1p) b) Pour tout entier k ≥ 2, on pose bk = 1 k ln k . Caluler lim n?+∞ n2∑ k=n+1 bk (comparer la somme a une integrale). La serie +∞∑ k=2 bk est-elle convergente? (3p) c) Etudier la convergence de la serie +∞∑ k=2 1 ln(k!) (1p

• ?1?x lnx


• lnn2 ?


• lnx


• caluler lim


• lnn ln


• limite ln


• signe constant


• signe de sinx ?


• b∫