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thieg - Olivier Garet

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Annee universitaire 2006-2007 UNIVERSITE D'ORLEANS Olivier GARET Integration, Fourier et Probabilites

variable aleatoire

premiers exercices d'integration

exercices sur les lois

loi uniforme

axiomes de base

calculs de lois

variables aleatoires

tribu engendree

Sujets

Ann´ee universitaire 2006-2007
´ ´UNIVERSITE D’ORLEANS
Olivier GARET
Int´egration, Fourier et Probabilit´es2Table des mati`eres
Table des mati`eres i
1 Un peu de th´eorie de la mesure 1
1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Axiomes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Sous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Op´erations sur les tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Intersection de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Tribu engendr´ee par une famille de tribus. . . . . . . . 3
Tribu´ee par une d’ensembles . . . . . . 3
1.1.5 Tribu bor´elienne, fonctions mesurables . . . . . . . . . 3
Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Alg`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Espace mesur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Extension d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Exercices de th´eorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Convergence et mesurabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Tribu bor´elienne deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Convergence et mesurabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Espace probabilis´e 15
2.1 Espace´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Partitions et probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Conditionnements en chaˆıne . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2t par tous les cas possibles . . . . . . . 20
2.3.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i`ii TABLE DES MATIERES
´2.4.1 Ev´enements ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Tribus ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Ind´ependance et tribus engendr´ees . . . . . . . . . . . 22
2.5 Premiers exercices de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Integrales 29
3.1 D´eﬁnition de l’int´egrale et propri´et´es de base . . . . . . . . . . 29
3.1.1 D´eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Rappel des propri´et´es de bases . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Cons´equences importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Int´egration sur un ensemble, mesures `a densit´e . . . . . . . . . 31
3.2.1 Int´egration sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Fonctions simples (ou fonctions ´etag´ees) . . . . . . . . 32
3.2.3 Mesure `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.4 Int´egration par rapport a` une mesure image . . . . . . 33
3.3 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Construction de la mesure produit . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Th´eor`emes de Fubini et Tonelli . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.3 Associativit´e de la mesure produit . . . . . . . . . . . . 39
3.3.4 Convolution de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Premiers exercices d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Lois des variables et des vecteurs al´eatoires 43
4.1 D´eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Propri´et´es de la fonction de r´epartition d’une variable
al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 Tribu engendr´ee par une ou plusieurs variables al´eatoires 46
4.2 Ind´ependance des variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Application : loi 0−1 de Kolmogorov . . . . . . . . . . 49
4.2.2 Variables al´eatoires int´ependantes et convolutions . . . 50
4.3 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 Fonction d’une variable al´eatoire discr`ete . . . . . . . . 54
4.4 Variables et vecteurs al´eatoires `a densit´e . . . . . . . . . . . . 54
4.4.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Densit´es et lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.3 Ind´ependance et densit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Variables et lois discr`etes classiques . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.1 Indicatrice d’un ´ev´evenement . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.2 Masse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58`TABLE DES MATIERES iii
4.5.4 Loi uniforme sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.5 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.6 Loi g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.7 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.8 Loi hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Lois `a densit´e usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
d4.6.1 Loi uniforme sur un compact deR . . . . . . . . . . . 62
4.6.2 Loi sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . 63
24.6.3 Loi gaussienne de param`etres m et σ . . . . . . . . . . 63
4.6.4 Loi exponentielle de param`etres a . . . . . . . . . . . . 64
4.6.5 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6.6 Lois Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 Exercices sur les lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5 Esp´erances et calculs 69
5.1 Quelques rappels sur la construction de l’esp´erance . . . . . . 69
5.2 propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Application : Formule de Poincar´e et in´egalit´es de Bonferroni . 70
5.4 In´egalit´e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Int´egrale et queue de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 Th´eor`emes de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6.1 Calcul de l’esp´erance d’une variable al´eatoire discr`ete . 75
5.6.2 de l’esp´ d’une v al´ a` densit´e 76
5.7 Moments d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7.1 Covariance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.7.2 Matrice de cov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.7.3 Esp´erance et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.8 Calculs de lois images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8.1 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8.2 Application aux lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . 84
5.8.3 : convolution de deux lois `a densit´e . . . . 85 : Γ(a,λ)∗Γ(b,λ)=Γ(a+b,λ) . . . . . . . 86
5.8.4 Compl´ements m´ethodologiques . . . . . . . . . . . . . 87
5.9 Calcul des premiers moments des lois discr`etes usuelles . . . . 91
5.9.1 Indicatrice d’un ´ev´enement . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.9.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.9.3 Loi g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.9.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.9.5 Loi hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.10 Calcul des premiers moments des lois `a densit´e usuelles . . . . 95
5.10.1 Loi uniforme sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . 95`iv TABLE DES MATIERES
5.10.2 Loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.10.3 Lois Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.10.4 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.10.5 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.11 Exercice sur les esp´erances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
p6 Espaces L 101
p p6.1 De L a`L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 In´egalit´e de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.2 In´egalit´e triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
p6.2 Compl´etude deL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Th´eor`emes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
p6.4 Exercices sur les espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 Convolution et transformation de Fourier 111
7.1 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
17.1.1 convolution dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.2 autres produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.3 Approximations de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.4 R´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.1 propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2