CHAPITRE LES THÉORÈMES DE DEUX CARRÉS

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
CHAPITRE 5 : LES THÉORÈMES DE DEUX CARRÉS 1. Les énoncés Il y a trois théorèmes concernant les sommes de carrés d'entiers naturels. Théorème 1.1. Un entier naturel n est la somme de deux carrés si et seulement si quand on l'écrit comme un produit de puissances de premiers distincts n = pe11 p e2 2 · · · p er r , alors pour tout premier de la forme pi = 4k + 3 l'exposante ei correspondant est paire. Donc selon le théorème, 810 = 2 · 34 · 5 est une somme de deux carrés, car son seul diviseur premier ? 3 (mod 4) est 3, dont l'exposante 4 est paire. (Et on a bien 810 = (32 + 1) · 34 = 272 + 92.) Mais selon le théorème 297 = 33 · 11 n'est pas une somme de deux carrés car 3 et 11 sont ? 3 (mod 4), mais leurs exposantes sont impaires. Théorème 1.2. Un entier naturel n est la somme de trois carrés si et seulement si n n'est pas de la forme n = 4m(8k + 7). Théorème 1.3 (Lagrange). Tout entier naturel n est la somme de quatre carrés. 2. L'anneau Z[i] d'entiers de Gauss Regardons maintenant le probléme des sommes de deux carrés.

• entiers de gauss


• division euclidienne du théorème précédent dans l'algorithme d'euclide


• associés de z


• zw


• division euclidienne


• algorithme d'euclide


• pi ?