Algèbre Master octobre

Niveau: Supérieur, Master
Algèbre, Master 1 6 octobre 2008 20082009 TD2 : Produits semi-directs, actions de groupes Exercice 1 On se donne N et H deux groupes, ? : H ? Aut(N) un morphisme de groupe et on définit sur N ?H la loi de composition suivante : (n, h)(n?, h?) = (n?(h)(n?), hh?) (a) Montrer que cela muni N ?H d'une structure de groupe, on note N o? H le groupe ainsi obtenu, cette loi est appelée produit semi-direct. (Quand ? est explicit on écrit N oH au lieu de N o? H.) (b) Montrer que H et N s'injectent dans N o? H et que H n'est pas distingué lorsque ? 6= Id. (c) Montrer qu'on a la suite exacte d'homomorphismes : 1 ? N i? N o? H pi? H ? 1, où i(n) def= (n, 1H) et pi((n, h)) def= h. (d) On considère une suite exacte des groupes 1 ? T ?? G ?? K ? 1 et on suppose qu'il existe un sous-groupe K ? de G tel que la restriction ?|K? soit un isomorphisme K ? ? K.

• structure de groupe


• appelée produit


• produit direct de sl


• produit semi-direct


• coe?cients entiers de déterminant égal


• part entière


• morphisme


• action de groupe