Algèbre Master octobre

Niveau: Supérieur, Master
Algèbre, Master 1 27 octobre 2008 20082009 TD3 : Groupes résolubles, théorème de Sylow Exercice 1 Montrer que S5 possède un sous groupe d'ordre 20. Est-ce encore vrai pour A5 ? Exercice 2 Déterminer les groupes de Sylow de S3, S4 et S5. Exercice 3 Un groupe d'ordre 105 peut-il être simple ? Est-il toujours résoluble ? Exercice 4 Soit G un groupe fini et p un nombre premier. (a) Soit N ¢G et P ? Sylp(N), montrer que G = NG(P ).N . (b) Soit P ? Sylp(G) et U < G tel que NG(P ) ? U , montrer que NG(U) = U . (c) Soit N ¢ G tel que |G/N | = pn avec n > 2, montrer qu'il existe U ¢ G tel que |G/U | = p. Exercice 5 Dans cet exercice G désigne un groupe non abélien d'ordre 182. (a) Montrer que G a un unique 7-Sylow, on le noté S et que le nombre de 13-Sylow de G est égal à 1 ou 14. (b) Soit T un 13-Sylow. Montrer que H = ST n'a qu'un seul 13-Sylow. En déduire le nombre de 13-Sylow de G.

• isomorphisme


• fp ?


• groupe d'ordre


• produit semi-direct


• fp


• groupes de sylow de s3


• groupe des bijections a?nes de fp


• sylow