On dit souvent que l'une des plus grandes satisfac tions des mathématiciens consiste établir desliens entre domaines a priori éloignés L'histoire récente du transport optimal de mesure est cet égard très représentative Initié la fin du XVIIIe siècle par Monge développé par Kantorovich au milieu du XXe siècle pour ses applications en économie ce sujet a connu une renaissance spectaculaire dans les der nières années partir des travaux de Brenier en méca nique des fluides Les spécialistes actuels peut être frap pés de délire monomaniaque voient maintenant du transport optimal partout depuis les équations semi géostrophiques en météorologie jusqu'aux problèmes isopérimétriques en passant par les milieux granulaires la physique statistique et les inégalités de Sobolev Essayons de retracer quelques étapes de cette renais sance Notons que conformément un phénomène assez courant Brenier a redécouvert certains résultats déjà connus mais que cette redécouverte loin d'être super flue a apporté un nouvel éclairage au domaine qui sans cela n'aurait certainement pas acquis sa notoriété actuelle

Niveau: Elementaire

• cours - matière potentielle : du temps

On dit souvent que l'une des plus grandes satisfac-tions des mathématiciens consiste à établir desliens entre domaines a priori éloignés. L'histoire récente du transport optimal de mesure est à cet égard très représentative. Initié à la fin du XVIIIe siècle par Monge, développé par Kantorovich au milieu du XXe siècle pour ses applications en économie, ce sujet a connu une renaissance spectaculaire dans les 15 der- nières années, à partir des travaux de Brenier en méca- nique des fluides. Les spécialistes actuels, peut-être frap- pés de délire monomaniaque voient maintenant du transport optimal partout : depuis les équations semi- géostrophiques en météorologie jusqu'aux problèmes isopérimétriques, en passant par les milieux granulaires, la physique statistique et les inégalités de Sobolev. Essayons de retracer quelques étapes de cette renais- sance. Notons que, conformément à un phénomène assez courant, Brenier a « redécouvert » certains résultats déjà connus ; mais que cette redécouverte, loin d'être super- flue, a apporté un nouvel éclairage au domaine qui, sans cela, n'aurait certainement pas acquis sa notoriété actuelle. Pour comprendre le contexte dans lequel s'inscrivaient les travaux de Brenier, commençons par quelques rappels élémentaires de mécanique des fluides. L'équation d'Euler incompressible est l'une des équations les plus simples, les plus anciennes et les plus mystérieuses de toute la mécanique des fluides. Dans sa formulation dite Lagrangienne, elle peut se décrire comme suit.

• travaux de brenier en méca- nique des fluides


• problème de monge-kantorovich


• trajectoire du fluide aux instants ultérieurs


• brenier


• problème classique