Notes sur un article de Vaughan de

Niveau: Elementaire
Notes sur un article de Vaughan de 1974 Bruno Martin 25 mai 2011 Résumé Soit An le plus grand coe?cient en valeur absolue du polynôme cyclotomique d'ordre n. Vaughan [10] montre qu'il existe une infinité d'entiers n tels que An > exp ( n log 2 log2 n ) . Dans cette note, nous détaillons les calculs de [10]. Nous donnons également une preuve élémentaire du résultat de Vaughan manifestement due à Sa?ari. Enfin, en annexe, nous restituons les énoncés et preuves respectives de deux résultats de Schur et Bateman sur les coe?cients des polynômes cyclotomiques. 1 Introduction Pour n ? N?, on note ?n le n-ième polynôme cyclotomique soit ?n(X) = ∏ 16k6n (k,n)=1 ( X ? e(k/n) ) Le polynôme ?n est unitaire de degré ?(n) et l'on pose ?n(X) = ?(n)∑ m=0 a(m,n)Xm. Rappelons que ?n est à coe?cients entiers et que l'on dispose de la formule ?n(X) = ∏ d|n (Xd ? 1)µ(n/d), 1

• bateman sur les coe?cients des polynômes cyclotomiques


• p6y ?


• formule d'inversion de möbius de l'identité


• preuve du théorème


• outils de nature analytique


• formule


• coe?cients


• ième polynôme