Devoir Maison n7 pour le mercredi

Niveau: Elementaire
PC M. Roger Devoir Maison n7 pour le mercredi 25/11/2009 Ce devoir -plus difficile- est accompagné de nombreuses indications dans les deux premières parties. Les deux suivantes sont facultatives. On dit qu'une suite réelle a = (a n ) n2N est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe n 0 2 N et p 2 N tels que : (R) 8n 2 N; n n 0 ) a n+p = a n : (L'entier p est une période de la suite (a n ) nn 0 ). On note UP l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - I.A - Montrer que UP est un sous espace vectoriel de l'espace RN des suites réelles. Est-il de dimension finie ? indic. : on pourra raisonner par l'absurde et montrer que s'il existait une base finie de UP de cardinal d, de suites respectivement p 1 ; : : : ; p d - périodiques a.p.c.r, alors P = d Y i=1 p i serait une période de toute suite de UP .

• ultimement périodique


• division euclidienne


• rayon de convergence de la série entière


• caractère ultimement périodique