Algèbre décembre

Niveau: Elementaire
Algèbre 1 1 décembre 2008 20082009 TD5 : Polynômes symétriques. Anneaux factoriels Exercice 1 Soit A[X1, · · · , Xn] l'anneau de polynômes en X1, · · · , Xn à coe?cients dans un anneau intègre A. Le groupe symétriqueSn agit de manière naturelle sur A[X1, · · · , Xn]. On désigne par A[X1, · · · , Xn]Sn l'anneau des polynômes symétriques (c.à.d. invariants pour l'action de Sn) et par s1, · · · , sn les polynômes symétriques élémentaires. Cet exercice suggère une méthode pratique pour présenter un polynôme f ? A[X1, · · · , Xn]Sn comme f = g(s1, · · · , sn), où g est un polynôme en n variables à coe?cients dans A. 1. Introduisons l'ordre lexicographique sur l'ensemble des monômes : X i11 X i22 · · ·X inn > Xj11 Xj22 · · ·Xjnn s'il existe 1 ≤ k ≤ n tel que i1?j1 = 0, · · · , ik?1?jk?1 = 0, ik?jk > 0. Si f ? A[X1, · · · , Xn], le monôme maximal parmi les monômes qui participent à l'expression de f comme une combinaison linéaire de monômes à coe?cients non- nuls est dite dominant pour f .

• somme des carrés des racines du polynôme


• monôme maximal parmi les monômes


• racine


• cubes des racines complexes du polynômes x3


• combinaison linéaire de monômes


• monômes monotones


• polynômes symétriques


• i2 ≥


• anneau intègre