Université Henri Poincaré Nancy Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre Arithmétique Feuille

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Université Henri Poincaré, Nancy 1 Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre-Arithmétique 2011–2012 Feuille 02 Groupes finis 1. Montrer que tout groupe d'ordre 4 est isomorphe à Z/4Z ou à Z/2Z ? Z/2Z. 2. Montrer que tout groupe d'ordre premier p est isomorphe à Z/pZ. 3. Soit G un groupe d'ordre n > 2. Montrer qu'il n'existe aucun sous- groupe de G d'ordre n? 1. 4. Soit G un groupe fini du groupe multiplicatif C?. Montrer que G = Un, le groupe des racines n-ième de l'unité, où n = |G|. 5. Soit G un groupe multiplicatif fini d'ordre n ≥ 2, d'élément neutre e, tel que x2 = e pour tout x ? G. 1. Montrer que G est abélien. 2. Montrer que G admet un sous-groupe H d'ordre 2. En déduire que n est pair. 3. Montrer, par récurrence, que n est une puissance de 2. 6. Soit f : G ? G? un morphisme de groupes. Montrer que si x ? G est d'ordre fini n, alors f(x) est d'ordre fini et son ordre divise n. Application : trouver tous les morphismes de Z/3Z dans Z/7Z 7.

département de mathématiques lcma2

produit de cycles disjoints

permutation ?

groupe fini

morphismes de z

cycles ?1

générateur

Sujets

Poincaré

Groupe fini

Générateur

mathématiques

mathématique

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UniversitÉ Henri PoincarÉ, Nancy 1 lcma2 s3 standard et cpu2 2011–2012

DÉpartement de MathÉmatiques AlgÈbre-ArithmÉtique Feuille 02

Groupes ﬁnis

1.Montrer que tout groupe d’ordre 4 est isomorphe ÀZ/4Zou ÀZ/2Z× Z/2Z. 2.Montrer que tout groupe d’ordre premierpest isomorphe ÀZ/pZ. 3.SoitGun groupe d’ordren >2. Montrerqu’il n’existe aucun sous-groupe deGd’ordren−1. ∗ 4.SoitGun groupe ﬁni du groupe multiplicatifCque. MontrerG=Un, le groupe des racinesn-iÈme de l’unitÉ, oÙn=|G|. 5.SoitGun groupe multiplicatif ﬁni d’ordren≥2, d’ÉlÉment neutree, tel 2 quex=epour toutx∈G. 1. MontrerqueGest abÉlien. 2. MontrerqueGadmet un sous-groupeHd’ordre2. En dÉduire quenest pair. 3. Montrer,par rÉcurrence, quenest une puissance de 2.

0 6.Soitf:G→Gun morphisme de groupes.Montrer que six∈Gest d’ordre ﬁnin, alorsf(x)est d’ordre ﬁni et son ordre divisen. Applicationtous les morphismes de: trouverZ/3ZdansZ/7Z 7.SoitGun groupe ﬁni d’ordre2n, d’ÉlÉment neutree. Onsuppose qu’il 0 0 existe deux sous-groupes distinctsH, HdeGd’ordren, tels queH∩H= {e}. Montrerquen= 2et dresser la table deG. 8.SoitGun groupe ﬁni d’ordre impair.Montrer que l’applicationf:G→ 2 Gtelle quef(x) =xest bijective. 9.DÉterminerEnd(G)etAut(G)lorsqueGest le groupe(Z,+). 10.SoientGun groupe ﬁni,KetMdeux sous-groupes deGd’ordresket m. Montrerque si,ketmsont premiers entre eux, alorsK∩M={e}. 11.SoientGun groupe ﬁni etHun sous-groupe distinguÉ deGd’ordrem. 1