Université Henri Poincaré Nancy Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre Arithmétique Feuille

Université Henri Poincaré, Nancy 1 Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre-Arithmétique 2011–2012 Feuille 03 Anneaux 1. Soit A un anneau unitaire. A¯ est l'ensemble sous-jacent à A muni des opérations suivantes : a ? b = a + b + 1 et a b = ab + a + b. Montrer que A¯ est un anneau unitaire isomorphe à A. 2. Montrer que, si un anneau unitaire intègre a un élément non nul idem- potents, c'est-à-dire tel que e2 = e, cet anneau est unitaire d'élément neutre e. 3. Un anneau de Boole est un anneau unitaire dont tous les éléments sont idempotents, c'est-à-dire tels que x2 = x. 1. Montrer que tout élément x vérifie x + x = 0, et qu'un tel anneau est commutatif. 2. Montrer que si A est intègre alors card(A) ≤ 2. 4. Soit A un anneau unitaire de caractéristique 2 tel que x3 = x pour tout x ? A. Montrer que A est commutatif. 5. Soit A un anneau unitaire et a un élément nilpotent de A, c'est-à-dire tel que il existe n ? N? vérifiant an = 0. Montrer que si x ? A est inversible et commute avec a, alors x? a est inversible et donner son inverse.

• anneau unitaire


• coefficients dans z


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• anneau des entiers de gauss


• anneaux z