Sur des faces du LR cône généralisé

Sur des faces du LR-cône généralisé Pierre-Louis Montagard et Nicolas Ressayre June 10, 2004 1 Résumé Soient G ? G deux groupes réductifs connexes. Notons D (resp. D) l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations irréductibles de G (resp. G). Nous nous intéressons à l'ensemble C des couples (µ, ?) dans D?D pour lesquels un G-module de classe ? contient un sous-G-module de classe µ. Il est bien connu que C engendre un cône polyédral dans un espace vectoriel approprié. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant D induit une face de codimension un du cône engendré par C. 2 Introduction Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Soient G ? G deux groupes algébriques réductifs connexes sur k. Soit V une représentation rationnelle de dimension finie de G. Le problème général que l'on aborde ici est de décomposer V en somme de G-modules irréductibles. Remarquons que ce contexte recouvre de nombreux problèmes de décomposition de représentations. Citons en deux : • si G = G?G et si G est la diagonale de G, il s'agit de décomposer le produit tensoriel de deux représentations irréductibles de G ; • soit G un groupe réductif quelconque et ? : G ? Gl(V ) une représentation irréductible de G, on peut alors poser G := Gl(V ) et considérer l'inclusion ?(G) ? G, le problème est alors de décomposer des représentations de G telles

• convexe ? ?


• groupe algébrique


• faces essentielles de c˜


• dimf ?


• semi-groupe


• décomposition


• correspondantes aux faces de codimension