Soit p un nombre premier a Montrer que Z pZ est un anneau local quel est son ideal maximal b Soit k un corps et x La meme question pour k x xn ou k x est l'anneau des polynomes en une variable x

Algebre 2008-2009 Feuille 2 1. Soit p un nombre premier. a) Montrer que Z/pZ est un anneau local, quel est son ideal maximal? b) Soit k un corps et x. La meme question pour k[x]/(xn), ou k[x] est l'anneau des polynomes en une variable x. 2. Soit A = k[x, y] et I = (x, y) ? A l'ideal engendre par x, y. Montrer que I est sans torsion, mais I n'est pas libre en tant que A-module. 3. Soit k un corps et E un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que f ? Endk(E) est un diviseur de zero dans Endk(E) si et seulement si f n'est pas un isomorphisme. 4. Soit I ? A un ideal dans un anneau A. Montrer que Matn(I) ? Matn(A) est un ideal bilatere et Matn(A)/Matn(I) ?˜ Matn(A/I). 5. Soit A un anneau, I1, I2 ? A des ideaux. On dit que I1 et I2 sont premiers entre eux si I1 + I2 = A. Supposons que I1 et I2 sont premiers entre eux et I1 ? I2 = 0.

• matrices zero


• ?m3 ?b


• m3 ?


• diviseur de zero dans endk


• anneau commutatif


• n1 ?


• e? ?


• structure de l'anneau c?r


• noyau de l'homomorphisme z ?