Mathematiques exercices Lycee A Brizeux PC

Mathematiques ; exercices Lycee A. Brizeux PC 2009-2010 Chapitre 7 : Espaces prehilbertiens, espaces euclidiens I. Applications directes du cours Exercice 1 Soit n 2 N. Dans chacun des cas suivants, dites si l'expression proposee de (x; y), pour tous vec- teurs x = (x 1 ; : : : ; x n ) et y = (y 1 ; : : : ; y n ) appar- tenants a Rn deni un produit scalaire sur Rn : a) (x; y) = x 1 y 1 ; b) (x; y) = n X i=1 x i y i ; c) (x; y) = ( n X i=1 x 2 i y 2 i ) 1=4 ; Exercice 2 a) Verier que (j) : R[X] R[X] ! R denie par : 8 (P;Q) 2 R[X]; (P jQ) = Z 1 1 P (t)Q(t)dt est un produit scalaire sur R[X]. b) En notant k k la norme associee, calculer k1k, kXk, kX 2 k, kX 3 k.

• produit scalaire


• r3 par les expressions


• projecteur orthogonal


• base orthonormale


• matrice dans la base cano


• espace prehilbertien