Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Integration numerique

pefav - Michael Eisermann

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Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 8 : Integration numerique Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

integrale de riemann

mathematiques assistees par ordinateur chapitre

methodes de newton-cotes

integrale ∫

aire entre l'axe des abscisses

Sujets

Intégrale de Riemann

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Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 8 : Intégration numérique

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Année 20082009 wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis à jour le 6 juillet 2009

Motivation et objectifs

R b Géométriquement, l’intégralef(x)dx a d’une fonction continuef: [a, b]→R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf.

Motivation et objectifs

R b Géométriquement, l’intégralef(x)dx a d’une fonction continuef: [a, b]→R mesure l’aire entre l’axe des abscisses etf. L’intégration est aussi l’opération«inverse» à la dérivation. SiF: [a, b]→Rveiﬁér R b ′ F=f, alorsf(x)dx=F(b)−F(a). a

Sommaire

L’intégrale de Riemann : construction et propriétés

Méthodes numériques basiques

Méthodes de NewtonCotes

La méthode de Romberg

Sommaire

L’intégrale de Riemann : construction et propriétés Construction de l’intégrale de Riemann Propriétés principales de l’intégrale Différentiation et intégration

Méthodes numériques basiques

Méthodes de NewtonCotes

La méthode de Romberg

Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:R→Reta < bun nombre réelfppel,aé a l’intégrale defsur[a, b], vériﬁant quelques exigences naturelles :

Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:R→Reta < bun nombre réelfppa,éle a l’intégrale defsur[a, b], vériﬁant quelques exigences naturelles : R b Constantes :λ= (b−a)λpour toutλ∈R a R R R c b c Subdivision :f=f+fpour touta < b < c a a b R R b b Monotonie :f≤gsif(x)≤g(x)poura < x < b a a De ces axiomes découlent toutes les propriétés de l’intégrale !

Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:R→Reta < bun nombre réelféleppa, a l’intégrale defsur[a, b], vériﬁant quelques exigences naturelles : R b Constantes :λ= (b−a)λpour toutλ∈R a R R R c b c Subdivision :f=f+fpour touta < b < c a a b R R b b Monotonie :f≤gsif(x)≤g(x)poura < x < b a a De ces axiomes découlent toutes les propriétés de l’intégrale ! Tout d’abord, ils déﬁnissent l’intégrale pour toute fonction en escalier :

Qu’estce que l’intégrale ? R b Onveutassocieràf:R→Reta < bun nombre réelf,peapél a l’intégrale defsur[a, b], vériﬁant quelques exigences naturelles : R b Constantes :λ= (b−a)λpour toutλ∈R a R R R c b c Subdivision :f=f+fpour touta < b < c a a b R R b b Monotonie :f≤gsif(x)≤g(x)poura < x < b a a De ces axiomes découlent toutes les propriétés de l’intégrale ! Tout d’abord, ils déﬁnissent l’intégrale pour toute fonction en escalier :

Puis tout s’étend aux autres fonctions intégrables par encadrement.

Construction de l’intégrale : fonctions en escaliers