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MAT231, Chapitre 3 MAT231 – Chapitre 3 : Polynômes Université Joseph Fourier – 2008-2009 Pierre Bérard Les transparents et les feuilles d'exercices sont disponibles sur 1/45 MAT231, Chapitre 3 Plan du chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Définitions, Structures algébriques Division euclidienne Congruences Idéaux, pgcd, ppcm Polynômes irréductibles Factorisation, I Polynôme dérivé et formule de Taylor Factorisation, II 2/45

a0 ·

corps commutatif

polynôme

scalaire a0 avec le polynôme

polynôme de degré inférieur

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MAT231,Chapitre3

MAT231 – Chapitre 3 : Polynômes Université Joseph Fourier – 2008-2009

Pierre Bérard

Les transparents et les feuilles d’exercices sont disponibles sur http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard

MAT231, Chapitre 3

Plan du chapitre 3

Chapitre 3, Polynômes Déﬁnitions, Structures algébriques Division euclidienne Congruences Idéaux, pgcd , ppcm Polynômes irréductibles Factorisation, I Polynôme dérivé et formule de Taylor Factorisation, II

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MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Déﬁnitions, Structures algébriques Déﬁnitions Note Dans tout ce chapitre, K désigne un corps commutatif (par exemple R ou C ).

Déﬁnition On appelle polynôme à coeﬃcients dans K une suite P = ( a i ) i ∈ N d’éléments de K telle que a i = 0 sauf pour un nombre ﬁni d’indices. De manière équivalente, un polynôme P est une suite nulle à partir d’un certai ’est-à dire qu’il existe un entier n n rang, c -(qui dépend a priori de P ) tel que a j = 0 pour tout j ≥ n + 1. Autrement dit, P = ( a 0  a 1      a n  0  0     ) . L’élément a i s’appelle le coeﬃcient d’ordre i du polynôme P .

MAT231, Chapitre 3 Chapitre 3, Polynômes Déﬁnitions, Structures algébriques

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Notations I On note K [ X ] l’ensemble des polynômes à coeﬃcients dans K . I On note 0 le polynôme ( 0  0     ) , dont tous coeﬃcients sont nuls. On note 1 le polynôme ( 1  0  0     ) , dont tous les coeﬃcients sont nuls, sauf celui d’ordre 0 qui vaut 1. Cela revient à identiﬁer K à une partie de K [ X ] . I On note (en général) X le polynôme ( 0  1  0  0     ) , dont tous les coeﬃcients sont nuls, sauf celui d’ordre 1 qui vaut 1. On dit que X est l’indéterminée .

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