LE PROBLÈME DE SCHOTTKY: UNE INTRODUCTION Arnaud Beauville

LE PROBLÈME DE SCHOTTKY: UNE INTRODUCTION Arnaud Beauville 1. La formulation originale On désigne dans ce qui suit par X une surface de Riemann compacte de genre g ≥ 2 . Topologiquement, X est donc un tore à g trous (cf. figure); on se donne en plus une structure complexe sur X , c'est-à-dire qu'on dispose, au voisinage de chaque point de X , d'une coordonnée complexe z , avec la condition de compatibilité habituelle: dans un ouvert de X où deux telles coordonnées sont définies, chacune d'elles est fonction holomorphe de l'autre. On peut alors parler de fonction holomorphe sur (un ouvert de) X, de forme holomorphe sur X (qui s'écrit localement f(z) dz , avec f holomorphe), etc... On se propose de classifier, à isomorphisme près, l'ensemble de ces structures complexes. Il y en a beaucoup: cet ensemble admet une structure naturelle de variété algébrique complexe, de dimension 3g-3 (pour g ≥ 2 ) qu'on appelle aujourd'hui l'espace des modules des surfaces de Riemann de genre g , et qu'on note Mg . Bien que notre connaissance de cette variété ait beaucoup progressé, le problème de la décrire explicitement reste encore largement ouvert. Je vais expliquer ici une approche possible, qui remonte à Riemann.

• holomorphe ? sur cg ?


• conséquence facile de la théorie des variétés de prym


• polynômes en les thêta


• matrice des périodes


• hg par la série


• groupe des matrices ?


• ig ig


• action de l?