Le calcul des tresses Patrick Dehormoy IntroductionQu'est ce qu'une tresse Une tresse n'est pas a priori un objet mathématique maisles tresses ont une structure mathématique Pourquoi ce titre le calcul des tresses En un sens que l'on va préciser les tresses généralisent les entiers et de même qu'onpeut calculer avec les entiers on peut calculer avec les tresses De manière plusprécise il existe des algorithmes de calcul pour les tresses Pour terminer on décrirades applications récentes de ces algorithmes de calcul la cryptographie Le groupe des tressesUne tresse c'est une suite de croisements Fig

• exposé

Le calcul des tresses(*)Patrick Dehormoy IntroductionQu'est-ce qu'une tresse ? Une tresse n'est pas a priori un objet mathématique, maisles tresses ont une structure mathématique. Pourquoi ce titre, le calcul des tresses ?En un sens que l'on va préciser, les tresses généralisent les entiers et, de même qu'onpeut calculer avec les entiers, on peut calculer avec les tresses. De manière plusprécise, il existe des algorithmes de calcul pour les tresses. Pour terminer, on décrirades applications récentes de ces algorithmes de calcul à la cryptographie.Le groupe des tressesUne tresse c'est une suite de croisements (Fig. 1). Figure 1Comment calculer avec les tresses à deux brins ? Pour définir la somme de deuxtresses, il suffit de considérer chacune d'entre elles comme une boîte avec deux brinsen entrée et deux brins en sortie. Les ajouter est simplement défini comme les mettrebout à bout. Notons 0 la tresse triviale (sans croisement) et 1 la tresse où le brin dubas passe sous celui du haut. En ajoutant ces deux tresses, on retrouve la tresse 1après déformation des brins – cette déformation, l'isotopie, notée ≈, sera préciséeplus tard. Donc l'addition vérifie 1 + 0 = 1 (Fig. 2 a).On peut ainsi, par induction, obtenir des tresses correspondant à chaque entier naturel(Fig. 2 b).

• isotopie


• produit de tresses élémentaires


• relations spécifiques entre certainséléments de bn


• isotopie des tressesun diagramme de tresse


• conséquence de la définition de la multiplication de tresses estqu'


• tresses


• diagramme


• groupe bn


• codage des tressesl'existence du produit des tresses