Espaces de Lebesgue et mesures signees

CHAPITRE VI Espaces de Lebesgue et mesures signees Jusqu'ici, nous avons considere des fonctions “individuellement”. Dans ce cha- pitre et le suivant, nous porterons notre attention sur des familles entieres de fonc- tions : des “espaces de fonctions”, ou espaces fonctionnels. Nous munirons ces espaces de structures geometriques (par exemple une norme pour mesurer la taille des fonctions, ou un produit scalaire pour definir l'orthogonalite) et topologiques (par exemple, la topologie induite par une norme). En caricaturant un peu, on peut dire que l'etude des proprietes geometriques et topologiques des espaces fonctionnels constitue l'analyse fonctionnelle. Le but premier de l'analyse fonctionnelle est de mettre en place des schemas de demonstrations intuitifs ou simples, similaires aux arguments geometriques ou topo- logiques que l'on fait dans un espace Euclidien (usage de coordonnees, orthogonalite, construction de limites, etc.) On peut sans doute faire remonter ce point de vue a Fourier lui-meme. Dans ce chapitre, nous introduirons deux types d'espaces fonctionnels. Dans un premier temps, nous fixerons une mesure, et nous construirons des espaces de fonc- tions mesurables, definis par leur “degre d'integrabilite” : integrabilite de la puis- sance p pour les espaces Lp de Lebesgue. Apres avoir etudie les relations entre ces espaces (ce qui nous menera a quelques considerations subtiles telles que l'interpo- lation entre espaces de Lebesgue), nous elargirons le cadre pour considerer l'espace de toutes les fonctions mesurables.

• interpo- lation entre espaces de lebesgue


• espace de lebesgue d'ordre


• deduire de l'inegalite de holder


• espaces de fonc- tions mesurables


• inegalite de minkowski


• semi-norme