Cours d'arithmétique

Cours d’arithm´etique
Premi`ere partie
Pierre Bornsztein
Xavier Caruso
Pierre Nolin
Mehdi Tibouchi
D´ecembre 2004
Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-
parant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :
1. Premiers concepts
2. Division euclidienne et cons´equences
3. Congruences
´4. Equations diophantiennes
5. Structure de Z/nZ
6. Sommes de carr´es
7. Polynˆomes `a coefficients entiers
8. Fractions continues
Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres
forment quant a` eux la deuxi`eme partie de ce cours.
Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire
possible.Lesnotionsabstraites,souventplusdifficiles`aassimiler,maisquiclarifientlesid´ees
lorsqu’elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons
au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer a` la lecture du second.
Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour
traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.
Voustrouverez`alafindechaquechapitreunes´eried’exercicesdedifficult´evariablemais
1indiqu´ee par des ´etoiles . Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.
Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture.
1Plus nous avons jug´e l’exercice difficile, plus le nombre d’´etoiles est important ...