Cours "Calcul Différentiel et Intégral I"

Cours “Calcul Différentiel et Intégral I”
Wolfgang Bertram
8 décembre 2006ii Introduction
Introduction
Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs va-
n mriables, f :R →R , ou, plus généralement f : V → W, où V et W sont
des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on
peut le diviser en trois parties principales :
I. La continuité : Notions de base de la topologie générale.
II. Différentiation.
III. Eléments d’intégration.
Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le
0premier degré de régularité, noté C , est la continuité; le degré suivant,
1noté C , est la continue différentiabilité; encore plus régulières sont les
2 3 ∞fonctionsC ,C , ..., puisC («lisse»). Ces propriétés seront étudiées en
détail dans les parties I et II, et nous dirons aussi quelques mots sur les
fonctions les plus régulières qui sont les fonctions analytiques.
Quantà lapartieIII,commedanslecasd’unevariable,l’intégration adeux
aspects, a priori complètement différents l’un de l’autre : d’abord, le calcul
d’aires (ou de volumes); cet aspect est étudié dans la théorie de la mesure
qui constitue le sujet d’un autre cours. Ensuite, l’intégration joue aussi le
rôle d’une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouver
le chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, la
recherchede primitives mène au problème beaucoup plus vaste d’«intégrer
une équation différentielle», et la relation ...