Chapitre sur l'ordre dans IR Cours.

classe-de-seconde - Parthe

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Etudiez les activités et les travaux pratiques 2006/2007 pour la classe de seconde.

Sujets

Formules mathématiques simples

ndeCours 3 Ordre dans IR 2 F
Ordre dans IR
Dans le chapitre précédent nous avons vu la difficulté que nous avions à connaître des valeurs
approchées pour les nombres réels, surtout les irrationnels, tels que 2 ou . Nous avons vu
également une manière de mieux connaître 2 : la dichotomie. Et pour cela nous nous
sommes servi d’encadrements, et donc d’inégalités.
L’ensemble des nombres réels est un ensemble ordonné, c’est à dire que si on prend deux
nombres réels distincts on peut toujours les comparer : il y aura un plus grand et un plus petit.
Et cet ordre s’exprime à l’aide d’inégalités. Nous allons dans ce chapitre étudier dans un
premier temps comment nous pouvons manipuler les inégalités, et ensuite nous étudierons des
sous-ensembles de IR définis à l’aide d’inégalité : les intervalles.
1- Manipulation des inégalités.
Nous récapitulons les résultats observés dans l’activité 5.
Pour tous nombres x et x tels que :1 2
x < x1 2Règle 1 ax < ax1 2et pour tout nombre a tel que :
a > 0
Pour tous nombres x et x tels que :1 2
x < x1 2Règle 2 ax > ax1 2et pour tout nombre a tel que :
a < 0
Pour tous nombres x et x positifs tels que :1 2 2 2Règle 3 x < x1 2x < x1 2
Pour tous nombres x et x négatifs tels que :1 2 2 2Règle 4 x > x1 2x < x1 2
1 1Pour tous nombres x et x strictement positifs tels que :1 2
Règle 5 >
x < x1 2 x x1 2
1 1Pour tous nombres x et x strictement négatifs tels que :1 2
Règle 6 >
x < x1 2 x x1 2
Pour tous nombres x et x positifs tels que :1 2 Règle 7 x < x1 2x < x1 2
Pour tous nombres x et x tels que :1 2 3 3Règle 8 x x1 < 2x < x1 2
Remarque. Puisque nous avons ces règles avec des inégalités strictes, nous les avons
également avec des inégalités larges.
1
p2- Intervalles.
A l’aide des inégalités nous construisons des sous-ensembles de IR qui ont une grande
importance en mathématiques : les intervalles.
Intervalles bornés Encadrement Représentation sur une droite graduée
[ ]
[a ; b] a ≤ x ≤ b
a b
] [
]a ; b[ a < x < b
a b
[ [
[a ; b[ a ≤ x < b
a b
] ]
]a ; b] a < x ≤ b
a b
Intervalles non
Encadrement Représentation sur une droite graduée
bornés
[
[a ; + [ a ≤ x
a
]
]a ; + [ a < x
a
[
x < b] - ; b[
b
]
x ≤ b] - ; b]
b
3- Distances sur la droite des réelles : la fonction valeur absolue.
Considérons deux nombres réels x et y. Plaçons-les sur la droite des nombres réels. Comment
faire pour mesurer la distance entre x et y ?
Oy x
2
¥¥¥¥Pour connaître la distance entre les deux nombres x et y, on regarde x - y et y -x. Le résultat
positif nous fournit la réponse (n'oublions pas qu'une distance est un nombre positif).
Pour cela, et pour alléger les écritures, on définit la fonction valeur absolue.
Définition. Fonction valeur absolue.
Soit x un nombre réel, on définit la valeur absolue de x par :
 x si x est positif
| x | =
− x si x est négatif
Remarque. L'expression | x | se lit "valeur absolue de x".
Exemples. | -6 | = 6 | 45| = 45
Attention. La fonction valeur absolue ne transforme pas un nombre en son opposé : la valeur
absolue transforme n'importe quel nombre en un nombre positif !
Grâce à cette fonction on peut alors écrire la distance entre deux nombres réels de la manière
suivante :
Distance entre deux nombres réels.
Soient x et y deux nombres réels, la distance entre x et y est donnée par l'expression
suivante :
d(x,y) = | x - y |
2Remarque. Il est intéressant d'observer que | x | = x .
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