Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP
Notes du Cours de M2
Albert Cohen
Dans ce cours, on s’int´eresse a` l’approximation num´erique d’´equations
auxd´eriv´eespartielleslin´eairesquiadmettentuneformulation variationelle,
c’est `a dire dont la solution u est aussi solution du probl`eme
(V) Trouver u∈X tel que a(u,v) =L(v) pour tout v∈X,
ou` X est un espace de Hilbert, a une forme bilin´eaire sur X×X, et L une
forme lin´eaire sur X. Ces formulations sont importantes pour les raisons
suivantes:
1. Denombreuxprobl`emesissusdelaphysiqueetdelam´ecaniqueadmet-
tent de telles formulations, et celles-ci reflettent souvent une propri´et´e
fondamentale du mod`ele, typiquement la minimisation d’une ´energie
sous-jacente.
2. Ces formulations donnent acc`es a` des r´esultats fondamentaux sur le
caract`ere bien pos´e de l’´equation, c’est `a dire l’existence et l’unicit´e de
la solution, et la stabilit´e de cette solution par rapport `a des pertur-
bations des donn´ees.
3. Elles sont a` la base de m´ethodes performantes pour l’approximation
num´erique des solutions, par la r´esolution d’un probl`eme approch´e:
trouver u ∈ X tel que a(u ,v ) = L(v ) pour tout v ∈ X , ou` Xh h h h h h h h
est un sous-espace de dimension finie de X.
Le cours se concentre autour de ce dernier aspect qui pose la question
du contrˆole de l’erreur u−u entre la solution exacte et la solution ap-h
proch´ee. On s’interessera tout particuli`erement `a la m´ethode des ´el´ements
finis dans laquelle les fonctions de X ...