Applications lineaires compactes

Chapitre 5 Operateurs compacts 5.1 Applications lineaires compactes Definition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; une application lineaire continue T ? L(E,F ) est dite compacte si l'image T (BE) par l'application T de la boule unite fermee BE de l'espace E est relativement compacte (en norme) dans F . On note K(E,F ) l'ensemble des applications lineaires compactes de E dans F . On pose K(E) = K(E,E). La proposition suivante donne des proprietes fondamentales de stabilite des operateurs compacts. Proposition 5.1.1 Soient E et F deux espaces de Banach ; l'ensemble K(E,F ) est un sous-espace vectoriel ferme de L(E,F ). Soient E,F et G des espaces de Banach, S ? L(E,F ) et T ? L(F,G) ; si S ou T est compacte alors TS est compacte. En particulier, K(E) est un ideal bilatere de L(E). Preuve : Il est clair que si T ? K(E,F ) et ? ? K, alors ?T ? K(E,F ). Soient maintenant T1 et T2 deux applications lineaires compactes de E dans F , et considerons les ensembles A1 = T1(BE), A2 = T2(BE) et A = (T1 + T2)(BE) ; il est clair que A est contenu dans A1 + A2, donc il est relativement com- pact d'

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