Université Joseph Fourier MAT Devoir la maison n

Université Joseph Fourier - MAT 231 - 2008-2009 Devoir à la maison n?2 Ce devoir est à rendre en TD la semaine n?43 (Lundi 20/10 - Vendredi 24/10). Exercice 1 Soit K un corps commutatif, et Mn(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. Soit A = (aij) un élément de Mn(K). On rappelle que la trace de la matrice A est la somme de ses éléments diagonaux : trace(A) = n ∑ i=1 aii. 1. Montrer que l'application trace est une forme linéaire sur Mn(K). 2. Montrer que pour toutes matrices A et B de Mn(K) : trace(AB) = trace(BA). (1) 3. Montrer que deux matrices semblables1 ont même trace. 4. Montrer qu'il n'existe pas d'endomorphismes u et v d'un espace vectoriel E de dimension finie tels que u ? v ? v ? u = IdE . 5. Montrer que les endomorphismes de K[X], u : P 7? P ? et v : P 7? XP satisfont l'égalité précédente : u ? v ? v ? u = IdK[X]. 6. Montrer que les formes linéaires surMn(K) vérifiant (1) sont de la forme ? trace, avec ? ? K.

• réel


• réelle pourx réel


• récurrence


• application linéaire d'unik-espace vectoriel sur le corps de base ik


• xpn ?