groupes monogènes exercices corrigés

Prépa CAPES UPMC 2008 Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny Lundi 3 novembre 2008 Groupes monogènes, groupes symétriques Groupes monogènes et cycliques Exercice 1 On dit qu’un groupe est monogène s’il peut être engendré par un seul élément. (1) Montrer qu’un groupe monogène est isomorphe, soit à Z, soit à Z=nZ pour un entier n 1. (2) Montrez que le groupe G =Z Z n’est pas monogène. Corrigé exercice 1 (1) On commence par décrire explicitement le sous-groupehxi engendré par un élément x kdans un groupe G. Il est clair que toutes les puissances x de x sont dans le sous-groupe 1engendré parx ; commex est dans le sous-groupe engendré parx, on a les puissances avec kk 0. On a alors min( ; ) min( ; )1 1 r rpgcd(a;b) = (p ) :::(p ) :1 1 Voici un dernier commentaire sur le pgcd. Soient a etb deux entiers non tous deux nuls, 0 0 0et d = pgcd(a;b). Comme dja et djb, il existe des entiers relatifs a;b tels que a = da et 0 0 0b =db, et de plus pgcd(a;b) = 1. L’existence des écritures 0 0 0 0a =da ; b =db avec pgcd(a;b) = 1 caractérise le pgcd de a et b, et est souvent extrêmement utile pour le manipuler. Corrigé exercice 2, question (1) 0 0 0 0Posons d = pgcd(k;n) avec k = dk , n = dn et pgcd(k;n) = 1. Il s’agit de montrer 0que l’ordre de k dansZ=nZ est n. Soit u un entier positif tel que uk = 0 dansZ=nZ. Ceci 0 0 0 0signifie qu’il existe v tel que uk = vn, ou encore udk = vdn. On en déduit uk = vn.