Autour d'un resultat elementaire

Autour d'un resultat elementaire M. Tibouchi 22 mai 2004 Resume Comme promis, mais avec un certain retard, je propose ici une solution propre a l'un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s'y rap- portant. Tous les commentaires, demandes d'eclaircissements, corrections, remarques orthographiques ou autres, sont les bienvenus.1 1 Chose promise, chose due. Il s'agissait de montrer que pour tout polynome f non constant a coefficients entiers, il existe une infinite de nombres premiers p tels que f ait une racine modulo p. Posons a = f(0), qu'on peut bien sur supposer non nul, et g(X) = f(aX). Tous les coefficients de g sont divisibles par a, donc on peut ecrire g(X) = a · g0(X), avec g0 polynome a coefficients entiers, de meme degre que f , et verifiant g0(0) = 1. Il suffit de montrer que l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels g0 a une racine est infini. Supposons par l'absurde qu'il n'y en ait qu'un nombre fini, et notons m leur produit. Comme le polynome g0(mX) n'est pas constant, il prend sur Z une valeur entiere autre que ±1, et il existe un entier x et un nombre premier tels que |g0(mx).

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