Annexe la démonstration Soit un triangle ABC non rectangle et M un point quelconque On note A B et C les orthocentres respectifs des triangles MBC MCA et MAB Alors les triangles ABC et A B C ont la même aire

Annexe 1 : la démonstration Soit un triangle ABC non rectangle et M un point quelconque; On note A?, B? et C? les orthocentres respectifs des triangles MBC, MCA et MAB. Alors les triangles ABC et A?B?C? ont la même aire. La démonstration ci-dessous sera faite en partie de façon analytique. Soit un repère orthonormé . Soit , , trois points quelconques du plan. L'aire du triangle ABC est égale à . Or . Compte tenu de la bilinéarité du déterminant, on a : . Et en utilisant le fait qu'il s'agit d'une forme bilinéaire antisymétrique, on a : . Le point C?, orthocentre du triangle MAB est donc le point d'intersection de la hauteur issue de A relative à (MB) et de la hauteur issue de B relative à (MA). Pour déterminer ses coordonnées, il suffit donc d'écrire et , puis de résoudre le système formé par ces deux équations. Après calculs : Et de façon analogue, on a : MC? = + ? ? ? ? ? ?? u ruuu a b a b a b a b b a b a 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1( ) ? ?? . BC MA? ? = u ruuu u ruuu 0AC MB? ? = u ruuu u ruu 0 det , det , detAB AC MB MC MC u ruu u ruu u ruu u ruu( ) = ( ) + u ruu u ruuu u ruuu u ruu,

• ab ac


• égalité des déterminants


• mcu ruuu


• ac ba


• tan tan