Sujet Bac L Mathématiques Spécialité 2014

À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1500m²
entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et
remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une
surface de 50m² et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel n, on note !" la surface en m² de terrain engazonné au bout
de n années, c’est-à-dire à l’automne 2010 + n. On a donc !#  1 500.
1. Calculer !.
2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, !"$  0,8 !"  50.
3. On considère la suite %" définie pour tout nombre entier naturel n par : %"  !"  250.
a) Démontrer que la suite %" est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
b) Exprimer %" en fonction de n.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, !"  250  1 250 & 0,8".
c) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
4. a) Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel n telle que :
250  1 250 & 0,8" ' 500
Interpréter le résultat obtenu.
b) Compléter l’algorithme fourni en annexe 1 pour qu’il affiche la solution obtenue à la
question précédente.
5. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.