Sujet BAC ES 2014 Mathématiques - Spécialité

Exercice 2 : (5 points)
Alice participe à une compétition de tir à l’arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches.
Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est
égale à 0,9.
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu’elle atteigne la
cible au lancer suivant est égale à 0,4.
On suppose qu’au premier lancer, elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :
!" la probabilité qu’Alice atteigne la cible au n-ième lancer ;
#" la probabilité qu’Alice manque la cible au n-ième lancer ;

"  !" #" la matrice ligne traduisant l’état probabiliste au n-ième lancer.
1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant
l’état « Alice atteint la cible » et B l’état « Alice manque sa cible »).
b) Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A
et B dans l’ordre (A, B).
c) Justifier que
  0,5 0,5 et
  0,65 0,35.
2. a) Montrer que, pour tout nombre entier n strictement positif, !"$  0,9!"  0,4#".
b) En déduire que, pour tout nombre entier n strictement positif, !"$  0,5!"  0,4.
3. a) Compléter l’algorithme fourni en annexe 1 de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste
au n-ième lancer.
b) Déterminer l’affichage de cet algorithme pour n = 5.
4. a) On considère la suite &" définie pour tout nombre entier naturel n strictement positif
par : &"  !"  0,8.
Montrer que la suite &" est une suite géométrique dont on précisera la raison et le
premier terme.
b) Donner l’expression de &" en fonction de n, puis en déduire