Corrigé du Bac S Maths 2018 (obligatoire et spécialité)

MATHÉMATIQUES Série S Remarque 1.Ce sujet est composé de quatre exercices classiques : une étude de fonctions (exercice 1), des probabilités (exercice 2), de la géométrie dans l’espace (exercice 3) et des complexes ou de l’arithmétique (exercice 4). Bien que composés de questions classiques, chaque exercice avait une ou plusieurs questions à prise d’initiative, où il fallait avoir un recul nécessaire sur les questions faites précédemment. Exercice 1 1. Oncherche les valeurs dexqui égalise largeur et hauteur de la chainette, c’est-à-dire 2x(largeur) doit 1 x−x être égale à(e+e−2) et donc 2 x−x x−x e+e−2=4x⇔e+e−4x−2=0 2. 3. (a) Pourx>0, on a ( ) x e −x x−x x−4+e−2=e−4x+e−2 x =f(x) (b) Onutilise la forme précédente : par croissance comparée, (a) x e lim= +∞ x→+∞ x x e donc par sommelim−4= +∞. Par produit, x→+∞ x ( ) x e limx−4= +∞ x→+∞ x −x De plus,lim e=0 donc par somme x→+∞ et finalement, −x lim e−2= −2 x→+∞ limf(x)= +∞ x→+∞ fest dérivable sur [0;+∞[ et on a, pourx⩾0 : ′x−x f(x)=e−e−4 ′x−x x (b) Onaf(x)=0⇔e−e−4=0. Puisque e>0, par produit ′x x−x f(x)=0⇔e (e−e−4)=0 x2x ⇔(e )−1−4 e=0 1 / 8 4. 5. x (c) PosonsX=e dansl’équation précédente. Celle-ci s’écrit alors 2 X−4X−1=0 et x X=e 2 L’équation du second degré a pour discriminantΔ=(−4)+4=20 et pour racines p pp p p p 4−20 4−42 5+20 4+2 5 X1= = =2−5 et X2= = =2+5 2 22 2 p p x′ Or on avait posé X=e .