Corrigé Bac S 2017 - Mathématiques spécialité

Extrait du sujet :
4 Exercice 4 (spé)
Partie A
1) La condition de Pythagore s’écrit :
y2=x2+(x+1)2 ⇔ y2=x2+x2+2x+1
⇔ y2=2x2+2x+1.
2) Pour y=5 la condition précédente donne 2x2+2x−24=0⇔x2+x−12=0, de solutions réelles
x=3 et x=−4, donc la seule valeur positive pour x est 3 soit x+1=4 d’où :
(x, y)=(3, 5) définit un TRPI.
Maintenant, pour y=4, cela donne 2x2+2x−15=0, on trouve √Δ =2√31 donc pas de solution
entière. Pour y =3, cela donne 2x2+2x −8=0⇔x2+x − 4= 0 avec un √Δ =√17 donc pas de
solutions entières non plus et enfin pour y =2 cela saute aux yeux.
On pouvait aussi lister tous les cas manuellement.
3) a) Nous pouvons raisonner par contraposée :
si n est pair, alors n2 l’est aussi (car si n=2k alors n2=4k2=2×2k2)
par contraposée, donc, si n2 n’est pas pair, n non plus, ce qui répond à la question.
3) b) L’égalité y2=2x2+2x+1 montre que y2 est impair, donc, d’après la question précédente, y
aussi.
4) La relation utilisée précédemment peut s’écrire :