Corrigé Bac S 2017 - Mathématiques

Extrait du corrigé Bac S 2017 - Mathématiques
Partie A
1) Lorsque x → +∞, la fonction présente une forme indéterminée. En effet, lim x→+∞e−x = 0 et
lim x→+∞x = +∞, on est donc dans le cas « 0 × ∞ ». Mais l’indétermination est levée par un simple
changement d’écriture : pour tout réel x, on a h(x) = x
ex, or on on sait que lim x→+∞
ex
x = +∞, donc
par passage à l’inverse, on a lim x→+∞
x
ex = 0 : c’est ce qu’on appelle les « croissances comparées ».
2) On dérive : h′
(x) = 1 × e−x + x × (−e−x) = e−x − x e−x = (1 − x) e−x.
On peut ensuite écrire que pour tout réel x on a e−x >0 donc le signe de h′
(x) est celui de (1−x).
On a ainsi le tableau de variations de la fonction h :