Corrigé BAC ES 2014 Mathématiques

Part I
Exercice 1
1. D'après l'arbre de l'énoncé, on a PA (B) = 0; 3 , d'où PA
􀀀
B


= 1 􀀀 PA (B) = 0; 7. La réponse correcte est la
réponse (c).
2. D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de l'évènement B s'écrit :
P (B) = PA (B) P (A) + PA (B) P
􀀀
A


= 0; 3  0; 6 + 0; 2  0; 4 = 0; 26
La réponse correcte est donc la réponse (c).
3. D'après le tableau de variations de l'énoncé, sur l'intervalle [4 ; 12]la fonction f varie entre 􀀀2 et 􀀀1. Par
conséquent, f est négative sur [4 ; 12] et sa primitive F est décroissante sur [4 ; 12]. Rappel : Dire que F est
une primitive de f signie que f est la dérivée de F. On sait que si une fonction est dérivable sur un intervalle
I et que sa dérivée est négative sur I alorscette fonction est décroissante sur I.
4. Soit x > 0, on a d'une part ln (x)+ln (x + 3) = ln (x(x + 3)) = ln
􀀀
x2 + 3x


. D'autre part 3 ln (2) = ln
􀀀
23


=
ln (8). Par conséquent, l'équation équivaut à :
ln
􀀀
x2 + 3x


= ln (8)
ou encore à : x2 + 3x = 8. La réponse correcte est la réponse (c).
5. L'aire demandée s'écrit


6
2 g(x)dx = G(6) 􀀀 G(2) où G est une primitive de g sur son domaine de dénition.
Or, une primitive de g sur ]0;+1[ est G(x) = 5 ln (x). La réponse correcte est (a).
Part II
Exercice 2 (Obligatoire)
1. Au bout de l'année 2010, 20% de la surfarce engazonnée est remplacée par de la mousse. Donc, avant que
Claude n'arrache une partie de la mousse, la surface engazonnée est de 80%  1500. Mais lorsque Claude
arrache la mousse sur une surface de 50m² pour la remplacer avec du gazon, la surface engazonnée devient
80%  1500 + 50. La surface engazonnée au bout de l'année 2010 est donc u1 = 80²
2. Soit n un nombre entier naturel. Au bout de l'année 2010+(n+1), 20% de la surfarce engazonnée est remplacée
par de la mousse. Donc, avant que Claude n'arrache une partie de la mousse, la surface engazonnée est de
80%  un. Mais lorsque Claude arrache la mousse sur une surface de 50m² pour la remplacer avec du gazon,
la surface engazonnée devient 80%un +50. La surface engazonnée au bout de l'année 2010+(n+1) est donc
un+1 = 0; 8un + 50. Cette relation est donc valable quelque soit l'entier naturel n.