Baccalaureat 2004 mathematiques specialite scientifique pondichery

erBaccalauréatSPondichéry1 avril2004Exercice1 3pointsu = 0 011. Soit ulasuitedéfiniepar: u = pourtoutentiernaturel nn+12−una. Calculer u , u et u . On exprimera chacun de ces termes sous forme1 2 3d’unefractionirréductible.b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiersntermesdelasuite w définiesurNpar w = .nn+1c. Àl’aided’unraisonnementparrécurrence,démontrerque,pourtouten-tiernaturel n, u = w .n n n2. Soit v la suite de terme général v défini par v =ln où ln désigne lan nn+1fonctionlogarithmenépérien.a. Montrerque v +v +v =−ln4.1 2 3b. Soit S lasommedéfiniepourtoutentiernaturelnonnul n par:nS = v +v +···+v .n 1 2 nExprimer S enfonctionde n.nDéterminerlalimitede S lorsque n tendvers+∞.nExercice2 4pointsUn joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numéro-téesde1à6,etdetroisurnesU ,U etU contenantchacune k boules,oùk désigne1 2 3unentiernaturelsupérieurouégalà3.Il y a trois boules noires dans l’urne U , deux boules noires dans l’urne U et une1 2boulenoiredansl’urneU ,ettouteslesautresboulescontenuesdanslesurnessont3blanches.Lesboulessontindiscernablesautoucher.Unepartiesedérouledelafaçonsuivante:lejoueurlanceledé,• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U ,notesa1couleuretlaremetdansl’urneU ;1• s’ilobtientunmultiple detrois,ilprendauhasardunebouledansl’urneU ,note2sacouleuretlaremetdansl’urneU ;2• silenuméroamenéparledén’estnile1niunmultipledetrois ...