Bac S – Mathématiques (spécialité) – Cours complet !

ARITHMETIQUE Propriétés fondamentales des ensembles d’entiers naturels: Propriété 1 : Toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturels admet un plus petit élément. Propriété 2 : Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément. I. Relation de divisibilité. 1- Définition et premières propriétés. a, b et c désignent des entiers relatifs. Définition 1 : On dit que b divise a ou que a est divisible par b s’il existe un entier k tel que a = b k. On note b | a. Si b divise a, on dit que b est un diviseur de a, et que a est un multiple de b. Propriétés immédiates : 3. Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0. 4. Si b | a , alors – b | a. 5. Si b | a et si a 0, alors | b | | a |. On en déduit que le nombre de diviseurs d’un entier est fini. 6. Si a | b et b | a , alors | a | = | b |. 7. Si a | b et b | c , alors a | c (on dit que la relation de divisibilité est transitive). 8. Si a | b et a | c, alors a | (ub + vc) où u et v désignent des entiers tels que ub + vc 0 (on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c). On a en particulier que a | (b + c) et a | (b – c) . 9. Si a | b, alors pour tout entier c, ac | bc. Démonstration : - 3. On a : 0 = 0 × b. - 4. Si b | a , il existe un entier k tel que a = bk, alors a = -b (-k), donc – b | a. - 5. Si b | a alors il existe un entier naturel k tel que : | a | = | b | k.