Corrige AGREGEXT Probleme de physique option physique 2009 AGREG PHYS

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Couplage fortde deux oscillateursCorrig´e16Premi`ere partieCircuits ´electriques coupl´es1 Equations diﬀ´erentielles coupl´ees1. Z1 di di1 2R i + i dt+L +M =e(t)1 1 1C dt dtZ1 di di2 1R i + i dt+L +M = 02 2 2C dt dt2. En d´erivant par rapport au temps on obtient les ´equations demand´ees.3. Les trois matrices, r´eelles et sym´etriques, sont diagonalisables. caract´erisent respective-ment le terme inductif, le terme dissipatif et le terme capacitif.(a) Les trois matrices, r´eelles et sym´etriques, sont diagonalisables, mais pas forc´ementsur la mˆeme base. Le d´ecouplage rigoureux des ´equations n’est possible que si lamatrice repr´esentant les termes dissipatifs peut se diagonaliser sur la mˆeme base queles deux autres matrices.(b) Non, ce n’est pas possible quand R =R1 24. On suppose dans cette question que R =R .1 2(a) Enadditionnantousoustrayantlesdeuxrelationsdiﬀ´erentiellescoupl´ees,onobtient:2d (i +i ) d(i +i ) 1 de1 2 1 2(L+M) +R + (i +i ) =1 22dt dt C dt2d (i −i ) d(i −i ) 1 de1 2 1 2(L−M) +R + (i −i ) =1 22dt dt C dtIl s’agit donc de i (t)−i (t) et de i (t)+i (t).1 2 1 2(b) Ces combinaisons ´evoluent de mani`ere ind´ependante.2 Analyse du r´egime harmonique forc´e2.1 Comportement au voisinage de la r´esonance5.12 2e e e(−ω L+jωR + )I −ω MI =jωE1 1 2C12 2e e−ω MI +(−ω L+jωR + )I = 01 2 2CSoit encore en divisant les deux ´equations par−L : ! 2 2 e ejωω −jωR /L−1/(LC) ω M/L I E1 1 =−2 2 eω M/L ω −jωR /L−1/(LC 02 I ...

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