UTBM integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables 2006 tc

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B 0 ;B 0 R B 0 0 B ;B B R UTBM - MT12 - le 13 Juillet 2006 M´edian Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main Chaque exercice doit ˆetre r´edig´e sur une feuille diﬀ´erente Il sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations. Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points Les questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2 lignes maximum. i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels surR. A quelle condition sur dim E et dim F peut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective? Justiﬁer. 0 1 a B Cb 4B Cii) Justiﬁer rapidement que F =f 2R =a=c;b=dg est unR-espace vectoriel@ Ac d et donner une base de F. 4iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dansR . Justiﬁer. iv) Calculer en fonction de m2R, 0 1 2 2 2 2m +1 m m m 2 2 2 2B Cm m +1 m mB Cdet :@ A1 ¡1 1 ¡1 2 2 2 2m m m m Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit E unR-espace vectoriel de dimension 5. Soit B =fb ;b ;b ;b ;b g une base de E.1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 01)MontrerquelafamilleB =fb =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b g1 2 2 3 3 4 4 5 51 2 3 4 5 est une base de E. 0 1 x1 B Cx2B C B C2) Soit x2E avec x = x (coordonn´ees de x dans B).B 3B C @ Ax4 x5 0Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B ? 3) D´eduire de la question 2) la matrice de passage de B a` B (c.`a.d. P telle que x =P :x )? TOURNERLAPAGES.V.P. 1N N Exercice 3 (4 points) (NOUVELLE FEUILLE)0 1 0 1 0 1 1 0 0 3@ A @ A @ ASoit C =fc = 0 ;c = 1 ;c = 0 g la base canonique deR1 2 3 0 0 1 Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par 3 3f : R ¡! R0 1 0 1 x x+y @ A @ Ay 2y7! z ¡2x+2y+3z On cherche `a d´eterminer une base B =fb ;b ;b g dans laquelle la matrice de l’appli-1 2 3 cation f sera 0 1 1 0 0 @ A0 2 0 : 0 0 3 1) Que doivent v´eriﬁer b , b et b pour que la matrice de f dans fb ;b ;b g soit celle1 2 3 1 2 3 que l’on cherche? 2) En d´eduire des vecteurs b , b , et b qui satisfont `a notre recherche.1 2 3 Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)µ ¶ 1 1¡2 6Soit A= 10 3 µ ¶ 1 021. D´eterminer P 2M (R), inversible, telle que A:P =P:D ou` D =2 10 3 2 n ⁄2. Exprimer A en fonction de P et D, puis A . G´en´eraliser `a A (n2N ). 3. Soient (U ) et (V ) deux suites telles quen n2 n n2 ⁄8n2N , ‰ 1 1U = U ¡ Vn n¡1 n¡12 6 1V = Vn n¡13 avec U ;V 2R ﬁx´es.0 0µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ U U U U1 2 0 nExprimer , puis , en fonction de A et . G´en´eraliser `a V V V V1 2 0 nµ ¶ U0en fonction de A, n et V0 4. D´eduire des questions pr´ec´edentes les limites des deux suites. 2