UTBM 2006 MT25 médian

MT25 Printemps 2006Examen médian du 28 avril 2006Durée : 2 heure(s)On rendra une copie (au moins et même blanche) pour chacun des deux exercices.Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.On pourra admettre chaque résultat et passer à la suite.Exercice 1 (Cycloïde). Soient a et λ deux réels strictement positifs.On considère un cercle de centre Ω,derayona se déplaçant «sans glisser». Soit un point M fixedececercle et un point N défini par−−→ −−→ΩN = λΩM. (1)N(t)M(t)Ωtj0 IiFig. 1. Le cercle définissant la cycloïde et les points M et N.Initialement, à t=0,lepointΩapourcoordonnées(0,a) et M est l’origine. Puis, pour tout t≥ 0,le cercle s’est déplacé vers la droite de telle sorte que −−→ −→t = ΩM,ΩI , (2)où I est le point de contact entre le cercle et l’axe des x. Voir figure 1.1/52/5(1) Montrer en écrivant l’égalité de la longueur de l’arc de cercle IM et la distance OI,quelescoordonnées (x (t),y (t)) de N vérifientλ λx (t)=a(t− λsin t), (3a)λy (t)=a(1− λ cos t). (3b)λ(2) On s’intéresse à la courbe décrite par N(t) quand t décrit R.(a) Montrer que l’on peut se réduire à l’intervalle [0,π].(b) Calculer les dérivées de x et de y .λ λ(c) (i) On suppose tout d’abord que λ∈]0,1[. Dresser le tableau de variation de x et y .λ λ(ii) On suppose maintenant que λ ∈]1,+∞[. On introduit l’unique réel θ ∈]0,1[ tel0que1cos θ = . (4)0λMontrer que l’on a t− θ t + θ0 0x (t)=2aλsin sin , (5)λ2 2et en ...