UNSA L3 Variable complexe Partiel du octobre

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Niveau: Supérieur
UNSA 2007/2008, L3-Variable complexe, Partiel du 29 octobre 2007. Duree : 2h. Tout document interdit. Une redaction claire et precise sera appreciee. Bareme indicatif: 7 + 6 + 7 1.a. Quelles sont les racines du polynome z2 ? 2z + 2 ? 1.b. Decomposer la fraction 1z2?2z+2 en elements simples. 1.c. Determiner le developpement de Taylor de 1z2?2z+2 au voisinage de l'origine. Quel est son rayon de convergence R? 1.d. Calculer 12pii ∫ ?r dz z2?2z+2 pour ?r(t) = re it, t ? [0, 2pi], en distinguant les cas r < R et r > R. 2. On considere la serie entiere s(z) = ∑ n≥1 zn n . 2.a. Quel est le rayon de convergence de s(z) ? 2.b. Calculer la derivee s?(z) et determiner le developpement de Taylor de s?(z) au voisinage de z0 = 12 . 2.c. En deduire le developpement de Taylor de s(z) au voisinage de z0 = 12 . Quel est son rayon de convergence ? 2.d. Comparer les domaines de definition de la fonction analytique s(z), obtenus en 2.

tion ?

racine

ezp ?

dz z2

developpement de taylor

origine

voisinage de z0

rayon de convergence

Sujets

Racine

Théorème de Taylor

Origine

Rayon de convergence

Informations

Publié par	chaeh
Publié le	01 octobre 2007
Nombre de lectures	32
Langue	Français

Extrait

UNSA 2007/2008, L3-Variable complexe, Partiel du 29 octobre 2007. Dure´e:2h.Toutdocumentinterdit. Uner´edactionclaireetpre´ciseseraappre´cie´e. Barˆemeindicatif:7+6+7

2 1.a.ltnoarseleuQsselynolmeˆoneciupsdz−2z+ 2? 1 1.b.´Dcenctioafraserlompo2e´le´ne.esplimssntme z−2z+2 1 1.c.leveeppotnemaTed´eDrmteerind´leylorde2au voisinage de z−2z+2 l’origine. Quelest son rayon de convergenceR? R 1dz it 1.d.Calculer2pourγr(t) =re ,t∈[0,2π], en distinguant 2πi γrz−2z+2 les casr < Retr > R. P n z 2.ere`itneeire´saleonsid`erOncs(z) =. n≥1n 2.a.Quel est le rayon de convergence des(z) ? 0 2.b.ulerCalcrevial´de´es(zeretd´etedrlnemippoleve´Tedtnemeaylorde) 01 s(z) au voisinage dez0= . 2 1 2.c.E´endirduedeleve´ppolnemeTedtdreyaols(z) au voisinage dez0= . 2 Quel est son rayon de convergence ? 2.d.nanotylaofalitcnCueiqseodamnimoaperlrnitiondeesded´eﬁs(z), obtenus en 2.a et en 2.c. z z(p−1) 3.Pourp∈N\{0}, on poseB(z, p) = 1 +e+∙ ∙ ∙+e. 3.a.Montrer que pourp≥lyroeveloppementdeTaocseicﬃestne´dud,l1 P n bn(p)z B(z, pneﬁire´v)=t n≥0n! n nn bn(p++ 1) = 0∙ ∙ ∙+ (p−1). Quelestlerayondeconvergencedude´veloppementdeTaylordeB(z, p) ? zp z 3.b.onfonctio’n´neeqlulaetitEbaillre−1 =B(z, p)(e−1).nE´ddereui pourn≥1, p≥1,la relation n−1  X n n p=bk(p). k k=0 3.c.uresncreur´rceprratneroMnsxei’elmoˆnylopedecnetsbn(xv)e´iraﬁtn n−1  X n n x=bk(x). k k=0 P n zx bn(x)z e−1 3.d.En admettant queB(z, x) ==z, expliciter la fonc-n≥0n!e−1 ∂B(z,x) tionβ(z) =|x=0aTedrolyeppotnemd´leelevrmteerinineet`´ael.’Dorig ∂x le rayon de convergence deβ(znemevisruce´rrenmieretD´).tsdeciencoeﬃtles P n βnz β(z) =, (qu’on appellenombres de Bernoulli) pourn= 0,1,2,3. n≥0n!