UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Mai 2008 Calculatrices non autorisees Exercice 1 Montrer que la serie entiere +∞ ∑ n=0 sin npi3 xn n! est de rayon de convergence infini, puis calculer sa somme S(x) pour tout x reel. Exercice 2 Pour tout x reel on pose f(x) = 2x ∫ x dt 14 + t4 . a) Montrer que f est impaire et determiner le signe de f ?. b) Montrer que pour tout x ≥ 0, on a 0 ≤ f(x) ≤ x14 + x4 . En deduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞. c) Donner l'allure de la courbe representative de f . Exercice 3 Trouver la limite de la suite (un)n≥1 definie par un = n ∑ k=1 k k2 + n2 . Exercice 4 Calculer 1 ∫ ?1 dt t + i . Exercice 5 a) Ecrire la premiere formule de la moyenne. b) Calculer la limite de la suite (un)n≥2 definie par un = n4 ∫ n2 arctan xn x ln x dx.

• arctann ≤


• sin npi3 xn


• premiere integrale


• serie


• tdt t2


• n4 ∫


• arctan cnn