Solution du sujet de Mathematiques Generales Cachan 3A

Solution du sujet de Mathematiques Generales, Cachan 3A 2009 Avertissement: Je tiens a preciser que je ne suis pas lie a l'Ecole Normale Superieure de Cachan; par suite les affirmations vraies ou fausses contenues dans ces pages ne sauraient engager l'Ecole. Olivier Garet, le 22 avril 2009 I Theoreme ergodique en moyenne de Von Neumann 1. On va montrer que quels que soient A,B,C ? M(µ), on a µ(A∆C) ≤ µ(A∆B) + µ(B∆C). En effet, d'apres l'inegalite triangulaire, |11A ? 11C | ≤ |11A ? 11B |+ |11B ? 11C |, soit 11A∆C ≤ 11A∆B + 11B∆C . Il suffit alors d'integrer par rapport a µ pour conclure. 2. µ(T?2(A)∆A) ≤ µ(T?2(A)∆T?1(A)) + µ(T?1(A)∆A). Cependant T?2(A)∆T?1(A) = T?1(T?1(A)∆A)). Comme T preserve µ, µ(T?2(A)∆T?1(A)) = µ(T?1(A)∆A)). Ainsi µ(T?2(A)∆A) ≤ 2µ(T?1(A)∆A) = 0, d'ou µ(T?2(A)∆A) = 0.

• theoreme de continuite sequentielle


• ?f ?


• solution du sujet de mathematiques generales


• theoreme de conver- gence monotone


• f??2 ≤


• continuite du produit scalaire