Si K R ou C pour un polynome P X K X on notera P la fonction polynome associee a P X

Niveau: Supérieur, Bac+5
Notations • Si K = R ou C, pour un polynome P (X) ? K[X], on notera P la fonction polynome associee a P (X). • Si deux suites numeriques (un)n et (vn)n sont equivalentes, on notera un ?n vn. De meme, si f et g sont deux applications reelles definies au voisinage d'un point x0 et equivalentes en x0, on notera f(x) ?x0 g(x). Quand le voisinage sera un voisinage a droite en x0, on precisera f(x) ?x+0 g(x). • On rappelle que le produit au sens de Cauchy de deux series (reelles ou complexes) ∑ un et∑ vn, est la serie ∑ wn ou le terme general wn est defini pour n ≥ 0 par wn = ∑n k=0 unvn?k. On rappelle aussi que si les series ∑ un et ∑ vn sont absolument convergentes, alors la serie produit ∑ wn est aussi absolument convergente et l'on a ( +∞∑ n=0 un )( +∞∑ n=0 vn ) = +∞∑ n=0 wn Objectifs du probleme Ce sujet aborde une serie de resultats et de proprietes relatifs a la formule de Stirling1 ainsi qu'aux polynomes et nombres dits de Bernoulli2.

• resultats etablis dans les questions precedentes sans les demontrer


• integrales de wallis


• x21 ?


• methode de calcul par integrations suc- cessives


• formule de stirling


• signe constant


• serie ∑