Rapport sur l'epreuve de Maths du concours d'entree en troisieme annee de l'ENS de Cachan

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Niveau: Supérieur
Rapport sur l'epreuve de Maths 1 du concours d'entree en troisieme annee de l'ENS de Cachan Commentaire general. Le probleme propose etait un probleme d'analyse. Le but etait d'aborder la question de la diffusion pour le probleme a deux corps de la mecanique classique, c'est-a-dire chercher une asymptotique, lorsque le temps t tend vers +∞, pour les trajectoires x(t, y, q) solutions des equations de Newton, ∂2t x(t, y, q) = ?V (x(t, y, q)), ?t ≥ 0, ou V : Rn ? R est un potentiel donne, avec des conditions initiales (y, q) ? Rn ? Rn : x(0, y, q) = y, ∂tx(0, y, q) = q. Les preliminaires servent essentiellement a montrer l'existence des trajectoires (pour tout temps), et leur unicite. La premiere partie repond au probleme de l'asymptotique dans le cas simple ou le terme de forces dans les equations de Newton n'est pas donne par un potentiel, mais est de la forme f(t, x(t, y, q)), dependant explicitement du temps, et sous des hypotheses d'integrabilite en temps. La deuxieme partie est consacree au probleme “avec potentiel”, a priori plus difficile parce que le potentiel V ne depend pas explicitement du temps, donc n'a pas directement de proprietes d'integrabilite en temps.

solutions des equations de newton

estimation de contraction necessaire au theoreme de point fixe

donne dans les rappels au debut du sujet

applications lineaires entre espaces vectoriels

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Ekpoma

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Rapportsurl’´epreuvedeMaths1duconcoursd’entre´eentroisie`meann´eede l’ENS de Cachan

Commentaireg´en´eral. Leproble`mepropos´ee´taitunproble`med’analyse.Lebut´etaitd’aborderlaquestiondela diﬀusionpourleprobl`eme`adeuxcorpsdelam´ecaniqueclassique,c’est-`a-direchercherune asymptotique, lorsque le tempsttend vers +∞, pour les trajectoiresx(t, y, q) solutions des e´quationsdeNewton, 2 ∂ x(t, y, q) =rV(x(t, y, q)),∀t≥0, t n nn ou`V:R→Rtiendoeltuesotnpitiales(itionsindcseocdnnne´a,evy, q)∈R×R: x(0, y, q) =y, ∂tx(0, y, q) =q. Lespre´liminairesserventessentiellement`amontrerl’existencedestrajectoires(pourtout temps),etleurunicit´e.Lapremi`erepartiere´pondauprobl`emedel’asymptotiquedanslecas simpleo`uletermedeforcesdanslese´quationsdeNewtonn’estpasdonn´eparunpotentiel, mais est de la formef(t, x(t, y, qsesth`euoste,spopyhsedsemiticplemuttdendaenexnt),)epd´ d’int´egrabilite´entemps.Ladeuxi`emepartieestconsacr´eeauprobl`eme“avecpotentiel”,a prioriplus diﬃcile parce que le potentielVmps,dutementcitepxilapesepdndee´ncnoda’n pasdirectementdeproprie´te´sd’inte´grabilit´eentemps. Lecorrecteura´et´eplutoˆtagre´ablementsurprisparl’eﬀortdere´dactiond’ungrandnombre decandidats,quiontargument´eleursre´ponsesdansunlangagefran¸caisetmath´ematique clair(meˆmesiuneparte´galementimportantedescandidatsnevoitpaslespointsdiﬃciles,et s’apesantitsurdesr´eponsesquidevraienteˆtreplusconcises).Pourl’essentiel,lesquestions abord´eesonte´te´cellesdelapartie“Pre´liminaires”,lapartieIetled´ebutdelapartie II(jusqu’`alaquestion(5),soitenvironuntiersdecettepartie).Lebareˆmeappliqu´ea correspondua`:pre´liminaires,12points;partieI,6points;partieII,13points.Lesnotes obtenuessurcebareˆme`a31pointsonte´t´econserve´espourfournirunenotesur20.La moyennes’e´le`vealors`a10,12,avecun´ecart-typede3,98,uneme´diane`a10,32,unenote maximale`a20etunenoteminimalea`1,99. Remarque:sur81candidatsinscrits,71onteﬀectivementcompos´e,etlesstatistiquessont calcul´eessurces71notes,meˆmesilecorrecteurconsid`erequ’unedemi-douzainedecandidats parmilespre´sentsn’ontpasr´eellement“particip´e”. Danscequisuit,onde´taillecesstatistiquespourchaquepartie,etonindiquequelques ´ele´mentsdecorrectionpourdesquestions(dontlesnume´rossontrappel´esenitalique)im-portantesetmaltraite´es,principalementpourlapartie“Pr´eliminaires”,variantessurdes questionsclassiques,ne´cessitantunpeudesoin.

Pr´eliminaires. Lamoyenne(sur12)s’´ele`ve`a6,09,avecune´cart-typede2,44,unem´ediane`a6,52,une notemaximalea`11,59etunenoteminimalea`0,91. En dehors de la question (4), qui est un lemme utile pour la partie II, cette partie teste destechniquesclassiquessurlese´quationsdiﬀe´rentielles(EDO).Onmontreicil’existence destrajectoires(globalesentemps),etleurunicit´e,c’est-a`-direunthe´or`emedeCauchy-Lipschitz.Unth´eore`medepointﬁxeadapte´a`cettesituationestdonn´edanslesrappelsau de´butdusujet. 1