Rapport sur l'epreuve de Maths du concours d'entree en troisieme annee de l'ENS de Cachan

Niveau: Supérieur
Rapport sur l'epreuve de Maths 1 du concours d'entree en troisieme annee de l'ENS de Cachan Commentaire general. Le probleme propose etait un probleme d'analyse. Le but etait d'aborder la question de la diffusion pour le probleme a deux corps de la mecanique classique, c'est-a-dire chercher une asymptotique, lorsque le temps t tend vers +∞, pour les trajectoires x(t, y, q) solutions des equations de Newton, ∂2t x(t, y, q) = ?V (x(t, y, q)), ?t ≥ 0, ou V : Rn ? R est un potentiel donne, avec des conditions initiales (y, q) ? Rn ? Rn : x(0, y, q) = y, ∂tx(0, y, q) = q. Les preliminaires servent essentiellement a montrer l'existence des trajectoires (pour tout temps), et leur unicite. La premiere partie repond au probleme de l'asymptotique dans le cas simple ou le terme de forces dans les equations de Newton n'est pas donne par un potentiel, mais est de la forme f(t, x(t, y, q)), dependant explicitement du temps, et sous des hypotheses d'integrabilite en temps. La deuxieme partie est consacree au probleme “avec potentiel”, a priori plus difficile parce que le potentiel V ne depend pas explicitement du temps, donc n'a pas directement de proprietes d'integrabilite en temps.

• solutions des equations de newton


• estimation de contraction necessaire au theoreme de point fixe


• donne dans les rappels au debut du sujet


• applications lineaires entre espaces vectoriels