Notations Dans le probleme pour toute fonction h definie et derivable sur un intervalle I a valeurs dans R on note h sa fonction derivee On note E l'ensemble des fonctions f definies et continues sur l'intervalle derivables sur l'intervalle a valeurs dans R et verifiant les proprietes suivantes f f f est derivable sur et on note f sa fonction derivee x l f x x l f x Pour toute fonction f de E on note f˜ la fonction associee a f definie sur l'intervalle par f˜ x x f x

Niveau: Supérieur, Bac+5
CAPES interne 2006 Probleme 1 Notations Dans le probleme, pour toute fonction h definie et derivable sur un intervalle I a valeurs dans R, on note h? sa fonction derivee. On note E l'ensemble des fonctions f definies et continues sur l'intervalle [0 ; 1], derivables sur l'intervalle [0 ; 1[, a valeurs dans R et verifiant les proprietes suivantes : • f(0) = 0 • f(1) = 1 • f ? est derivable sur [0 ; 1[ et on note f ?? sa fonction derivee • ?x ? [0 ; l[, f ?(x) > 0 • ?x ? [0 ; l[, f ??(x) > 0. Pour toute fonction f de E, on note : • f˜ la fonction associee a f , definie sur l'intervalle [0 ; 1] par f˜(x) = x? f(x) ; • I(f) le reel defini par I(f) = 2 ∫ 1 0 f˜(x) dx = 2 ∫ 1 0 [x? f(x)] dx. I(f) est appele indice de Gini de f . On admettra que si une fonction continue sur l'intervalle [0 ; 1] est monotone ou strictement mo- notone sur l'intervalle ]0 ; l[, il en est de meme sur l'intervalle [0 ; 1].

• interpretation graphique de la relation


• courbes representatives de f2 et de g2 dans le plan


• loi de probabilite de y4


• orthonormal d'unite graphique


• entier


• indice de gini pour le pays considere


• pays