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MAT242 2011-2012 CC2 Mardi, 24 Avril 2012, 9h45-11h15 Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Autour du cours Soit f : R? C une fonction 2pi-periodique. 1.Donner la definition des coefficients de Fourier an(f) et bn(f), ainsi que la definition de la serie de Fourier de f . 2. Enoncer le theoreme de Parseval. 3. Soit S(z) = ∑ n≥0 ?nz n une serie entiere de rayon de convergence R > 0, avec (?n)n une suite de reels. On fixe un reel r tel que 0 ≤ r < R, et on pose f(?) = S(rei?) + S(re?i?) 2 . a. Verifier que f est 2pi-periodique et que f(?) = ∑ n≥0 ?nr n cos(n?). b. Justifier que la serie definissant f converge normalement sur R. c. Quels sont les coefficients de Fourier de f ? Exercice 1 Pour tout n ≥ 1, on definit la fonction un : [0,+∞[? R, x 7? e?n 2x n3/2 . 1. Etudier la convergence normale, uniforme et simple de la serie de fonctions ∑ n≥1 un sur [0,+∞[.

somme partielle

portables interdits

signe ∑

convergence normale

?pi cos

critere de comparaison

serie definissant

rayon de convergence

Sujets

Série (mathématiques)

Convergence normale

Rayon de convergence

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MAT242 2011-2012

CC2

Mardi, 24 Avril 2012, 9h45-11h15

Documents,calculatricesett´el´ephonesportablesinterdits. Autour du cours Soitf:R→Cune fonction 2πp-e´irodique. 1.Donnerlade´ﬁnitiondescoeﬃcientsdeFourieran(f) etbn(f,)ianitid´eﬁuelansiqedeire´saledno Fourier def. 2.Enoncerleth´eor`emedeParseval. X n 3. SoitS(z) =λnzecodeonayncgeernve´ireetn`iredereunesR >0, avec (λn)nune suite de n≥0 iθ−iθ S(re) +S(re) r´eelsnu´rﬁnex.Oeelrtel que 0≤r < R, et on posef(θ) =. 2 X n a.Ve´riﬁerquefest 2π-p´erieuqteeuqidof(θ) =λnrcos(nθ). n≥0 b.Justiﬁerquelas´eried´eﬁnissantfconverge normalement surR. c. Quels sont les coeﬃcients de Fourier def? Exercice 1 2 −n x e Pour toutn≥tincon1o,dne´nﬁtialofun: [0,+∞[→R, x7→. 3/2 n X 1.Etudierlaconvergencenormale,uniformeetsimpledelas´eriedefonctionsunsur [0,+∞[. n≥1 X 2. On noteS(x) =un(x) pour toutx≥0. Montrer queSest continue sur [0,+∞[. n≥1 X 0 3.Etudierlaconvergencenormaledelase´riedefonctionsusur [0,+∞[, puis sur tout invervalle n n≥1 de la forme [a,+∞[, aveca >0. 0 4. Montrer queSsuleabiverd´ste]r0,+∞[ et exprimerSd’unormeousfs.nsnofeoitce´sedeir X 0 5.Montrerquelase´riedefonctionsuifnoercmo´nevmergepasunnestru0],+∞[ (on pourra n n≥1 X √2 0 −(n+1)x d´emontrerque|u(x)| ≥n+ 1epour toutx >0) n k≥n+1 Exercice 2 X n 1.D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ereanxdans les cas suivants : n≥0 (2n)!n2 n an= ;an= () ;an=`n(1 + 1/n). (n+ 1)!∙n!n+ 1 X 2n 2.Calculerlerayondeconvergenceetlasommedelas´erieentie`re(n+ 3n)x. n≥0 21 −x 3.D´evelopperlafonctionf:x7→eisiovuaere`itneeri´ense+denagex= 0. 2 1 +x