ISFA 2003 2eme epreuve de mathematiques option a

I. S. F. A. 2003-2004 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 1°) Quelle est la période de la fonction f:(xf→=x)sinx ? Développer f en série de Fourier. En quels points f est-elle égale à la somme de sa série de Fourier ? 2°) Soit ϕ une fonction continûment dérivable sur un intervalle compact ab, . [ ]b Montrer que : lim ϕα(tt) cos( ) dt=0 ∫aα→+ ∞ puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que : bb2lim ϕλ(tt) sindt=ϕ(t)d . ∫∫πaaλ→+ ∞PROBLEME ∞ ∞On note C , le espace vectoriel des fonctions de classe C de dans . ()- I - ∞ Pour f ∈ C , et λ ∈ on considère la fonction ()DI− λ f définie pour x ∈ par ()′(DI−λ)f()x =fx −λf()x . ()∗ m ∞Puis pour chaque m ∈ DI−λ l’opérateur linéaire sur C (,) défini par ()DI−λoo()DI−λLo(DI−λ)m fois. ∗ ∞1°) Montrer par récurrence : pour tout m ∈ , tout f ∈ C (,) et tout x de : mxλ−mλx m mm()(DI−λ)f()x =eDf()xe où D est l’opérateur de dérivation d’ordre m : Dg()x =g ()x. ()()∗ ∞ m2°) Montrer que pour tout λ ∈ et tout m ∈ : f ∈ C (,) appartient au noyau de ()DI−λ si et seulement λxsi f est définie par : fx() =P()xe où P est un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à m-1. ∗3°) Pour m ∈ et λ∈ on note : mx,λλEf=→:(fx)=P(x)eoù P est un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal {à m . ...